Calcule:
a) (1/3) : (2/5) =
b) (-3) : (1/2) =
c) (-2/5) : 5=
terça-feira, 27 de fevereiro de 2007
domingo, 25 de fevereiro de 2007
O almoço da Dona Josefina
A Dona Josefina é a senhora mais rica da cidade de Parentolândia. Como hoje faz anos, oferece um almoço às famílias mais importantes da cidade. Vieram os Almeida, os Baptista, os Cabral, os Domingues, os Encarnação, os Figueiredo, os Garrido, os Honório e os Isaac.
Está um dia de sol lindo. Como a Dona Josefina tem um belo jardim, organizou tudo para que cada família tenha uma mesa só para os seus.
No final do almoço, e para que os seus convidados se divirtam, a Dona Josefina propõe que cada família prepare uma charada para os restantes convidados. Aqui vão as charadas.
Consegues resolver todas?
Os Almeida dizem:Nesta mesa estão quatro pessoas. O Manuel é irmão da Maria. O Francisco é filho do Manuel e a Joana é filha da Maria.
Quais são os laços de família entre as pessoas sentadas nesta mesa?
Eis a charada dos Baptista:O pai do Pedro é o pai do Paulo.
Qual o parentesco entre o Pedro e o Paulo?
Por sua vez, os Cabral perguntam:A mãe da Leonor é a mãe da Luísa.
Qual o parentesco entre a Leonor e a Luísa?
A charada dos Domingues é:O pai do Rui é filho do Vasco.
Qual o parentesco entre o Rui e o Vasco?
Eis a charada dos Encarnação:A mãe da Sandra é filha da Dolores.
Qual o parentesco entre a Sandra e a Dolores?
Da mesa dos Figueiredo, alguém pergunta:A Marta é filha do meu pai.
Qual o meu parentesco com a Marta?
Os Garrido perguntam:A Paula é irmã da minha mãe.
Qual o meu parentesco com a Paula?
A charada dos Honório:Na nossa mesa está uma senhora e uma menina.
Qual o parentesco entre a menina e a senhora?
Finalmente, da mesa dos Isaac alguém pergunta:O Filipe é o pai do meu neto e é o neto do Teófilo.
Que parentesco há entre mim, o Filipe e o Teófilo?
O Início do processo de contagem
Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.
O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.
As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio.
A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.
No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.
No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.
Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.
O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.
As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio.
A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.
No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.
No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.
Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.
O lado mais sedutor da disciplina
Bom dia a todos.
Após ter lido este artigo no jornal “Publico” de 18 de Fevereiro, e por o ter achado muito interessante, não resisti a coloca-lo aqui, na esperança de que ao lê-lo, vocês possam de alguma maneira mudar a forma como muitas vezes encaram a Matemática.
O texto repito foi publicado no jornal “Público” de 18 de Fevereiro e é da autoria de “Paulo Pimenta”.
Divirtam-se e lembrem-se que ler é sempre bom.
O lado mais sedutor da disciplina
Há o lado terrível. Dos insucessos e dos assustadores raciocínios e problemas incompreensíveis para o comum dos mortais. Mas há um lado fascinante. Como o desafio de milhões de dólares para decifrar os enigmas do milénio ou a invisível Matemática do quotidiano. O PÚBLICO oferece-lhe alguns exemplos deste mundo simplificado que se esconde atrás de complicados raciocínios e conceitos da disciplina. Para contrapor às soluções aparentemente fáceis, fica também a certeza de que há problemas muito difíceis de resolver.
Cartão de crédito
À partida, parece lógico. Para conceber um cartão de crédito é natural que se tenha recorrido à Matemática. Afinal, é a base dos avanços tecnológicos. No entanto, como se consegue que este simples pedaço de plástico seja seguro? A resposta é com a Matemática. Segundo Marcelo Viana, o "segredo" para que a informação de um cartão seja lançada na rede de maneira codificada está assente numa noção muito conhecida: o número primo. "Os métodos comerciais para codificar informação na rede e na Internet são baseados no facto de que é muito difícil dividir números em factores primos", nota o matemático luso-brasileiro. O também matemático Nuno Crato introduz outro elemento nesta equação. A criptografia, uma forma segura de trocar informações usando intermediários, sem que, em algum momento, o mensageiro tenha acesso a toda a informação. O que funciona, por exemplo, na utilização do cartão de crédito numa compra na Internet. O mensageiro, neste caso, é a Net, que nunca tem acesso ao "código" completo. O sistema de codificação assenta no ramo da Matemática chamado "Teoria dos Números" e garante a segurança nas trocas comerciais pela Internet. Ou seja, por mais que diga que o detesta, quando compra uma música no “iTunes” ou um livro no “Amazon”, por exemplo, está a usufruir do conhecimento matemático.
O bolo-rei dividido
O que é que a partilha de um bolo-rei tem a ver com Matemática? Tem. Aliás, é até motivo da atenção de muitos matemáticos, existindo mesmo livros sobre o assunto. Nuno Crato, matemático empenhado na divulgação científica, escreveu um artigo sobre esta questão. Segundo explica, atrás de uma justa divisão de um bolo-rei estarão algoritmos para partilhas equitativas. Uma ferramenta que pode até servir, por exemplo, para as partilhas de uma herança ou para a fixação de fronteiras entre dois países. A tarefa do bolo parece relativamente fácil se a divisão for feita por dois, mas complica-se quando entram mais convidados em cena. A resposta encontra-se num teorema do matemático polaco Hugo Steinhaus, numa solução que ficou conhecida como "Teorema da Sanduíche de Fiambre", refere Nuno Crato. Este mostra que existe sempre um hiper plano que divide vários componentes ao meio e ao mesmo tempo. E, já agora, porquê um bolo-rei? Porque é irregular, tem vários ingredientes, o que dificulta mais a tarefa. É preciso assegurar, por exemplo, que todos têm uma parte igual dos frutos cristalizados e da massa. É possível, com Matemática. Aliás, segundo Nuno Crato, mesmo quem só precisa de dividir o bolo em dois executa uma elementar operação matemática.
Bilhete de identidade
Ainda há muita gente intrigada com o misterioso número do bilhete de identidade (BI). A seguir ao número do documento surge um espaço independente preenchido com um algarismo. Há ainda quem jure que se trata do número de pessoas que, em Portugal, têm um nome igual ao do portador do BI. Serão seguramente aqueles que não leram ainda o livro de Jorge Buescu onde o tema faz a capa da obra - O Mistério do Bilhete de Identidade e Outras Histórias, editado pela Gradiva, na Colecção Ciência Aberta, em 2003. O autor, licenciado em Física e doutorado em Matemática, explica que este algarismo deveria ser simplesmente "um algarismo de controlo que detecta se o número do BI está correctamente escrito ou não". A estratégia assenta na teoria dos códigos, mas, lamentavelmente, falhou. Segundo Jorge Buescu, apesar de ser essa a explicação para o misterioso número, este acaba por não cumprir totalmente a sua função de controlo, porque as autoridades portuguesas terão cometido "um ridículo erro matemático". Os sistemas de identificação com dígitos detectores de erros funcionam nos cartões de crédito, nos NIB, no correio, nos códigos de barras, na Via Verde... No caso do BI, a operação falha quando é introduzido o 0, que, quando ocorre, pode funcionar como um 0 ou um 10, o que estraga as "contas" do controlo.
GPS
O “Global Positioning System” está em todo o lado e todos os conhecem pela abreviatura: GPS. Numa primeira tentativa de tentar explicar o sistema (criado pelo Departamento de Defesa norte-americano), podemos ser levados a pensar que, quando usamos um GPS, estamos a ser observados, seguidos até por satélites. No entanto, segundo explica Nuno Crato, o raciocínio deve ser feito ao contrário. Somos nós - ou os nossos equipamentos - que "olhamos" para os satélites. O processo assenta num esquema que envolve nada mais, nada menos do que 24 satélites dispersos no céu de forma cuidadosa para garantir a cobertura de qualquer ponto da Terra por pelo menos quatro satélites. São os quatro necessários para fornecer as coordenadas da latitude, longitude, altura e o tempo. Os equipamentos emitem sinais (por ondas electromagnéticas) e os GPS que temos no carro, por exemplo, recebem a informação e interpretam os dados. São sistemas que têm de ter em conta uma série de factores, como a interferência de ondas, o cálculo matricial, a geometria, a velocidade da luz e dos próprios satélites, o clima... Em duas palavras, muita matemática. Tudo para tornar possível a imagem que nos mostra o caminho certo.
Os sete enigmas
Eram sete enigmas, mas um já foi desvendado. A Conjectura de Poincaré (proposta em 1904) foi decifrada em 2002 por um matemático russo num episódio com contornos próprios de um romance. Reza a história que, depois de mostrar a solução, o brilhante Grigori Perelman refugiou-se na Rússia, não responde aos e-mails, não atende o telefone e não estará interessado em reclamar o prémio de um milhão de dólares que é seu de direito. O desafio de milhões foi lançado pelo Clay Mathematics Institute of Cambridge, uma instituição norte-americana, que avaliou cada solução num milhão de dólares. Falta agora encontrar as respostas para os seis problemas em aberto há dezenas de anos: a Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, a Conjectura de Hodge, as Equações de Navier-Stokes, a Hipótese de Riemann, a Teoria de Yang-Mills e P=NP. Para Marcelo Viana, tão importante como encontrar as respostas para este problema é a quantidade de questões que são levantadas com as sucessivas tentativas. Com a Teoria de Poincaré, por exemplo, foi criada a Topologia, uma parte da Geometria.
(aqui lanço um desafio à turma. Numa aula de estudo acompanhado ou área de projecto, peçam ao V/Professor, que Vos ajude a encontrar os restantes 6 enigmas, e quem sabe, um dia num futuro não muito distante, um de Vocês, poderá decifrar mais um)
Joaquim Machado
(pai do Carlos)
Após ter lido este artigo no jornal “Publico” de 18 de Fevereiro, e por o ter achado muito interessante, não resisti a coloca-lo aqui, na esperança de que ao lê-lo, vocês possam de alguma maneira mudar a forma como muitas vezes encaram a Matemática.
O texto repito foi publicado no jornal “Público” de 18 de Fevereiro e é da autoria de “Paulo Pimenta”.
Divirtam-se e lembrem-se que ler é sempre bom.
O lado mais sedutor da disciplina
Há o lado terrível. Dos insucessos e dos assustadores raciocínios e problemas incompreensíveis para o comum dos mortais. Mas há um lado fascinante. Como o desafio de milhões de dólares para decifrar os enigmas do milénio ou a invisível Matemática do quotidiano. O PÚBLICO oferece-lhe alguns exemplos deste mundo simplificado que se esconde atrás de complicados raciocínios e conceitos da disciplina. Para contrapor às soluções aparentemente fáceis, fica também a certeza de que há problemas muito difíceis de resolver.
Cartão de crédito
À partida, parece lógico. Para conceber um cartão de crédito é natural que se tenha recorrido à Matemática. Afinal, é a base dos avanços tecnológicos. No entanto, como se consegue que este simples pedaço de plástico seja seguro? A resposta é com a Matemática. Segundo Marcelo Viana, o "segredo" para que a informação de um cartão seja lançada na rede de maneira codificada está assente numa noção muito conhecida: o número primo. "Os métodos comerciais para codificar informação na rede e na Internet são baseados no facto de que é muito difícil dividir números em factores primos", nota o matemático luso-brasileiro. O também matemático Nuno Crato introduz outro elemento nesta equação. A criptografia, uma forma segura de trocar informações usando intermediários, sem que, em algum momento, o mensageiro tenha acesso a toda a informação. O que funciona, por exemplo, na utilização do cartão de crédito numa compra na Internet. O mensageiro, neste caso, é a Net, que nunca tem acesso ao "código" completo. O sistema de codificação assenta no ramo da Matemática chamado "Teoria dos Números" e garante a segurança nas trocas comerciais pela Internet. Ou seja, por mais que diga que o detesta, quando compra uma música no “iTunes” ou um livro no “Amazon”, por exemplo, está a usufruir do conhecimento matemático.
O bolo-rei dividido
O que é que a partilha de um bolo-rei tem a ver com Matemática? Tem. Aliás, é até motivo da atenção de muitos matemáticos, existindo mesmo livros sobre o assunto. Nuno Crato, matemático empenhado na divulgação científica, escreveu um artigo sobre esta questão. Segundo explica, atrás de uma justa divisão de um bolo-rei estarão algoritmos para partilhas equitativas. Uma ferramenta que pode até servir, por exemplo, para as partilhas de uma herança ou para a fixação de fronteiras entre dois países. A tarefa do bolo parece relativamente fácil se a divisão for feita por dois, mas complica-se quando entram mais convidados em cena. A resposta encontra-se num teorema do matemático polaco Hugo Steinhaus, numa solução que ficou conhecida como "Teorema da Sanduíche de Fiambre", refere Nuno Crato. Este mostra que existe sempre um hiper plano que divide vários componentes ao meio e ao mesmo tempo. E, já agora, porquê um bolo-rei? Porque é irregular, tem vários ingredientes, o que dificulta mais a tarefa. É preciso assegurar, por exemplo, que todos têm uma parte igual dos frutos cristalizados e da massa. É possível, com Matemática. Aliás, segundo Nuno Crato, mesmo quem só precisa de dividir o bolo em dois executa uma elementar operação matemática.
Bilhete de identidade
Ainda há muita gente intrigada com o misterioso número do bilhete de identidade (BI). A seguir ao número do documento surge um espaço independente preenchido com um algarismo. Há ainda quem jure que se trata do número de pessoas que, em Portugal, têm um nome igual ao do portador do BI. Serão seguramente aqueles que não leram ainda o livro de Jorge Buescu onde o tema faz a capa da obra - O Mistério do Bilhete de Identidade e Outras Histórias, editado pela Gradiva, na Colecção Ciência Aberta, em 2003. O autor, licenciado em Física e doutorado em Matemática, explica que este algarismo deveria ser simplesmente "um algarismo de controlo que detecta se o número do BI está correctamente escrito ou não". A estratégia assenta na teoria dos códigos, mas, lamentavelmente, falhou. Segundo Jorge Buescu, apesar de ser essa a explicação para o misterioso número, este acaba por não cumprir totalmente a sua função de controlo, porque as autoridades portuguesas terão cometido "um ridículo erro matemático". Os sistemas de identificação com dígitos detectores de erros funcionam nos cartões de crédito, nos NIB, no correio, nos códigos de barras, na Via Verde... No caso do BI, a operação falha quando é introduzido o 0, que, quando ocorre, pode funcionar como um 0 ou um 10, o que estraga as "contas" do controlo.
GPS
O “Global Positioning System” está em todo o lado e todos os conhecem pela abreviatura: GPS. Numa primeira tentativa de tentar explicar o sistema (criado pelo Departamento de Defesa norte-americano), podemos ser levados a pensar que, quando usamos um GPS, estamos a ser observados, seguidos até por satélites. No entanto, segundo explica Nuno Crato, o raciocínio deve ser feito ao contrário. Somos nós - ou os nossos equipamentos - que "olhamos" para os satélites. O processo assenta num esquema que envolve nada mais, nada menos do que 24 satélites dispersos no céu de forma cuidadosa para garantir a cobertura de qualquer ponto da Terra por pelo menos quatro satélites. São os quatro necessários para fornecer as coordenadas da latitude, longitude, altura e o tempo. Os equipamentos emitem sinais (por ondas electromagnéticas) e os GPS que temos no carro, por exemplo, recebem a informação e interpretam os dados. São sistemas que têm de ter em conta uma série de factores, como a interferência de ondas, o cálculo matricial, a geometria, a velocidade da luz e dos próprios satélites, o clima... Em duas palavras, muita matemática. Tudo para tornar possível a imagem que nos mostra o caminho certo.
Os sete enigmas
Eram sete enigmas, mas um já foi desvendado. A Conjectura de Poincaré (proposta em 1904) foi decifrada em 2002 por um matemático russo num episódio com contornos próprios de um romance. Reza a história que, depois de mostrar a solução, o brilhante Grigori Perelman refugiou-se na Rússia, não responde aos e-mails, não atende o telefone e não estará interessado em reclamar o prémio de um milhão de dólares que é seu de direito. O desafio de milhões foi lançado pelo Clay Mathematics Institute of Cambridge, uma instituição norte-americana, que avaliou cada solução num milhão de dólares. Falta agora encontrar as respostas para os seis problemas em aberto há dezenas de anos: a Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, a Conjectura de Hodge, as Equações de Navier-Stokes, a Hipótese de Riemann, a Teoria de Yang-Mills e P=NP. Para Marcelo Viana, tão importante como encontrar as respostas para este problema é a quantidade de questões que são levantadas com as sucessivas tentativas. Com a Teoria de Poincaré, por exemplo, foi criada a Topologia, uma parte da Geometria.
(aqui lanço um desafio à turma. Numa aula de estudo acompanhado ou área de projecto, peçam ao V/Professor, que Vos ajude a encontrar os restantes 6 enigmas, e quem sabe, um dia num futuro não muito distante, um de Vocês, poderá decifrar mais um)
Joaquim Machado
(pai do Carlos)
domingo, 4 de fevereiro de 2007
Números que crescem depressa
Era uma vez um rapaz chamado Sessa que viveu na Índia há muito, muito tempo. Foi ele quem inventou o jogo de xadrez. Sessa gostou tanto do seu jogo que o ofereceu ao Príncipe da Índia. O Príncipe também gostou muito do jogo, e perguntou a Sessa o que gostaria de ter como recompensa.
Sessa pediu como recompensa o arroz necessário para pôr um grão na primeira casa do tabuleiro, dois grãos na segunda casa (ou seja, o dobro do número de grãos da casa anterior), quatro grãos na terceira casa (ou seja, o dobro do número de grãos da casa anterior), e assim sucessivamente: em cada casa do tabuleiro, o dobro do número de grãos da casa anterior.
O Príncipe riu-se dele, achou muito pequena a recompensa, e garantiu que atenderia o seu pedido. Mas… será que foi assim tão bom negócio para o Príncipe?...
O Príncipe riu-se dele, achou muito pequena a recompensa, e garantiu que atenderia o seu pedido. Mas… será que foi assim tão bom negócio para o Príncipe?...
Na verdade, o Príncipe não demorou a descobrir que no seu reino não havia arroz suficiente para pagar a recompensa de Sessa!
Quantos grãos de arroz serão necessários para o princepe pagar a recompensa?
Introdução sobre a origem dos números
Já usas-te muitas vezes os números, mas será que já paraste para pensar sobre:
a.O modo como surgiram os números?
b. Como foram as primeiras formas de contagem?
c. Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram?
Para descobrires sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana e entender os motivos religiosos desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo que tenha gerado os números.
Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.
Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.
Quanto mais voltarmos na história, veremos que menor é a presença dos números.
a.O modo como surgiram os números?
b. Como foram as primeiras formas de contagem?
c. Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram?
Para descobrires sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana e entender os motivos religiosos desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo que tenha gerado os números.
Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.
Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.
Quanto mais voltarmos na história, veremos que menor é a presença dos números.
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